Vietata la copia

Paperino e la mate_magica

Spesso sono i cartoni animati (quelli degni di questo nome) che più dei paludati e supponenti discorsi di tanti fenomeni di questa epoca moderna e senza progresso, descrivono con semplicità e intelligenza autentica luminose verità .

Cartoni animati come strumenti didattici

Il cartone animato si propone come fine educativo, il coinvolgimento di adulti e bambini in varie sfere contenutistiche tutte ben correlate tra loro da un unico filo conduttore: la matematica. Nel filmato si possono notare diversi collegamenti trasversali tra la musica antica e quella moderna, il ritmo, la storia, la natura, l’uomo e le sue creazioni, le sue le scoperte; tutti spunti di riflessione che interessano lo spirito umano, soprattutto quello dei bambini.

Paperino rappresenta, secondo tale visione, il bambino o l’adulto incredulo di scoprire come tutto sia spiegabile attraverso la logica matematica e, come sembra dire lo spirito guida,

“Spesso non ce ne rendiamo conto, ma molte cose che compiamo o che vediamo attorno a noi sono rapportabili ai numeri e alla matematica”.

Il cartone animato comincia proprio con una successione di numeri e con il gioco del Tris, conosciuto da tutti i bambini e spesso proposto in classe come attività di tipo logico argomentativo. In realtà, parlando di giochi a due giocatori e teoria dei giochi, il tris si rivela un gioco tutt’altro che banale, e nel contempo, data la sua semplicità un vero e proprio gioco di logica. Ciò che si cerca sempre di metter in evidenza didatticamente è che se infatti nel gioco del tris il computer potrebbe non perdere mai, non è perché non conosce la distrazione, ma perché gioca con un metodo rigoroso che studia la convenienza di ogni mossa, propria e dell’avversario. In pratica il computer elabora, per ogni sua possibile nuova mossa, tutte le corrispondenti possibili mosse dell’avversario e assegna ad ognuna di esse un punteggio, attraverso una funzione di utilità. Tra le mosse possibili sceglie poi quella che rappresenta per esso stesso un’utilità massima e che porti contestualmente l’avversario a compiere la più svantaggiosa possibile.

L’algoritmo mira ad anticipare le mosse dell’avversario dirigendosi verso le configurazioni più sfavorevoli per quest’ultimo. Prevedere tutte le nuove mosse possibili si traduce, in termini operativi, nel costruire quello che si chiama un “albero”, rappresentato nella figura seguente:

Ogni livello dell’albero appartiene alternativamente all’uno e all’altro giocatore. Ovviamente man mano che si procede nel gioco, interi rami dell’albero vengono eliminati in quanto non più realizzabili. Tuttavia l’abilità del giocatore “artificiale” sta nel sapersi immettere fin dall’inizio nel ramo più conveniente possibile.

Dopo aver dato, seppur brevemente, un semplice riferimento al gioco del tris ed aver presentato delle figure geometriche (il rettangolo, il cerchio ed il triangolo) che annunciavano il π, il narratore si presenta a Paperino, smarrito in questo nuovo mondo, come lo “Spirito d’avventura” ed intraprende con lui il viaggio della scoperta. La musica in questo percorso fa da padrona; attraverso lo studio delle leggi numeriche che regolano l’armonia musicale si passa infatti dalla musica classica riferita al periodo di splendore della civiltà greca a quella moderna portata avanti da differenti generi musicali. Il narratore presenta allora la scuola pitagorica e discute assieme a Paperino i rapporti gerarchici esistenti nella società ellenica fra gli individui e come questi rispecchiassero, in prima battuta, la ricerca di un’armonia interna che nella natura si manifesta attraverso il ricorso alla cosiddetta proporzione divina, che si ritrova nei principi compositivi di ogni tipo di arte.

Una delle questioni più appassionanti della geometria pitagorica riguarda la costruzione del Pentagramma o Pentagono Stellato che nasce dalla Questa suddivisione della diagonale è la famosa “sezione aurea”.

Costruzione di un pentagono regolare con le sue cinque diagonali; queste ultime si intersecano formando un altro pentagono regolare. In ciascun caso, un punto di intersezione delle diagonali divide una diagonale in due segmenti disuguali tale che il rapporto dell’intera diagonale al segmento maggiore è uguale al rapporto di questo segmento al segmento minore.

La sezione aurea in Geometria, Aritmetica, Natura e Arte

La sezione aurea si definisce come il segmento medio proporzionale tra la lunghezza di tutto il segmento e la parte rimanente. Ripartizione di un segmento in due parti, che stanno tra loro come la maggiore (a) sta al segmento intero (1); utilizzando i simboli si ha: 1:a=a:b. a : x = x : (a – x) da cui a(a – x) = x² da cui il valore positivo di x = = 0,618…

Tra le figure geometriche piane che è possibile trattare didatticamente a scuola, esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è proprio rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A’. Utilizzando il compasso e puntando in A’ disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:AB=EB:AE

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l’angolo scelto. Si ripete l’operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri particolari: 0,1,1,2,3,5,8,13,21…

Tra i numeri di questa successione esiste una relazione affascinate da far scoprire ai bambini (e non solo….): ogni termine successivo della serie è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti ed il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al rapporto aureo.

Scoprire poi che in natura diversi tipi di conchiglie riportano inaspettatamente una forma a spirale fatta secondo i numeri di Fibonacci può essere illuminante.

Volendo citare Simone Weil potremmo dire che la matematica e la geometria in particolare sono “l’unica scuola che consenta di apprendere il rigore e la precisione nella ricerca della verità; l’essere umano che non l’abbia mai gustata resta irrimediabilmente incompleto.” (Simone Weil, Piccola cara … Lettere alle allieve, Marietti, 1998, p. 58.)

In botanica poi la disposizione a frattali degli elementi che compongono le foglie degli alberi,

seguono un diagramma logaritmico analogo ai suoni emessi da un monocordo. A dimostrazione di tale tesi lo studioso svizzero Hans Kayser pubblicò nel 1943 un testo di ben 324 pagine per comprovare l’esattezza di tale affermazione, sia dal punto di vista culturale che matematico.

Sebbene l’universo frattale sia stato scoperto in chiave moderna da Benoit B. Mandelbrot, nel 1975, la sua storia appartiene alle conoscenze esoteriche dell’antico Egitto e pertanto, alla filosofia orfica e pitagorica. Già dai tempi arcaici dell’antico Egitto, infatti, si assumeva l’organicismo della Natura e le sue leggi numeriche come fattori essenziali che preesistono a tutti gli eventi, i quali seguono sempre il medesimo divenire. Non ci deve poi stupire se l’uomo, consapevolmente o no, riveli una certa propensione per l’utilizzazione della sezione aurea, che applica nella sua produzione artistica. Tra i primi utilizzatori di questo rapporto ci furono sicuramente i Greci. I Greci apprezzavano il rettangolo aureo per le sue proporzioni perfette e caratteri magici perché riproducibile geometricamente un’infinità di volte. Questo principio matematico di bellezza, riflette appieno la genialità dello spirito greco che caratterizza gran parte delle opere scultorie del periodo classico. La sezione aurea è anche stata usata ampliamente in pittura, in molti quadri, soprattutto dal Rinascimento, questa proporzione veniva usata moltissime volte all’interno dell’opera. Si dice, ad esempio, che nella rappresentazione di un panorama l’orizzonte deve dividere l’altezza del quadro secondo la sezione aurea per ottenere un risultato più soddisfacente.

Le favole di Lewis Carroll

“Sii quello che sembri” 
L.Carroll

Dopo aver affrontato un lungo viaggio attraverso le meraviglie della matematica, Paperino sembra esausto; lo “spirito d’avventura” gli propone allora una rilettura in chiave matematica dei due scritti di Lewis Carroll: la favola di “Alice nel paese delle meraviglie” e “Dietro lo specchio”.

Paperino incontra la protagonista della fiaba e con lei riflette giocando sul gioco degli scacchi e sulle possibili strategie vincenti. Si affrontano poi altre situazioni di gioco come il baseball, il biliardo o la carambola a tre sponde (efficace per lo studio degli angoli nella Geometria piana), fino ad arrivare ai giochi della mente, cioè tutti quegli infiniti giochi che si possono costruire, come l’immaginare un triangolo inscritto in una circonferenza immaginando il movimento in secessione delle costruzioni geometriche risultanti ed analizzando la figura ottenuta nei vari casi possibili.

Quest’ultimo gioco richiama alla mente un libro scritto da Edwin A. Abbott “Flatlandia, racconto fantastico a più dimensioni”, dove viene affrontato il mondo su una superficie piana e come in essa convivono i flatandesi. Attraverso le immagini mentali siamo liberi di immaginarci lo spazio, la rotazione di un cono o di un’altra figura geometrica fino ad arrivare al concetto di infinito che è sempre presente nella nostra mente; anzi, che nasce proprio nella nostra mente per poi essere realizzato. Qui ci addentriamo in un campo nuovo, un luogo, una dimensione che merita una riflessione più approfondita. Perchè musica, filosofia, matematica, fisica, letteratura etc…. sono in fondo soltanto percorsi che sembrano differenti, tutti però in direzione della Verità.